Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wo wir über einen Intervall im R-Hoch 2 integrieren und so ein Intervall im R-Hoch 2 sieht aus wie ein Rechteck.

Bei unserem Beispiel lief das X zum Beispiel von 0 bis Pi zwölftel und das Y von 0 bis Pi viertel.

Und über dieser Rechteckfläche wollten wir eine Funktion f, die dann von X und Y abhängt integrieren.

In unserem Beispiel war f von X und Y gleich Cos 2X plus 3Y.

Um so ein Integral im Zweidimensionalen betrachten zu können, mussten wir erst einmal definieren, was das Integral sein soll.

Dazu haben wir die Definition analog zum Riemann-Integral für Intervalle entwickelt, über Zerlegungen dieses großen Intervalls in Teilintervalle.

Zu diesen Zerlegungen haben wir dann jeweils Ober- und Untersummen definiert und das untere Integral dann schließlich als Supremum über alle Zerlegungen der Untersummen definiert.

Und das obere Integral als Infimum über alle Zerlegungen, über die entsprechenden Werte für die Obersummen.

Wenn diese beiden Integralwerte, das untere und das obere Integral übereinstimmen, dann nennen wir die Funktion Riemann integrierbar.

Und wir hatten auch schon ein hinreichendes Kriterium, die stetigen Funktionen sind Riemann integrierbar.

Wenn wir jetzt ein Integral ausrechnen wollen, dann nützt uns das nicht so viel.

Wir fahren besser, wenn wir das auf zwei hintereinander geschaltete, also iterierte, eindimensionale Integrale zurückführen.

Das erste Integral ist dann bezüglich x und das zweite bezüglich y, aber wir können die Reihenfolge hier auch umdrehen.

Und das mache ich jetzt. Das Beispiel hatten wir einmal schon gerechnet.

Und jetzt können wir das Alternativ noch mit der umgekehrten Reihenfolge rechnen.

Sodass wir zuerst nach x und nach y integrieren, wobei wir beim letzten Mal zuerst nach y integriert haben und danach nach x.

Also im zweidimensionalen Fall, auch zwei gibt es nur die beiden Möglichkeiten für die Reihenfolgen.

Sie können die vertauschen. Wenn Sie drei Variablen haben, dann gibt es natürlich schon viel mehr Reihenfolgen.

Und wenn Sie vierdimensionale Integrale haben, dann können Sie noch mehr tauschen.

Und das ist nicht ganz unwichtig, weil manchmal gewisse Reihenfolgen leichter zu rechnen sind.

Also man kann dann eine geschickte Integrationsreihenfolge wählen, die einem die Integralberechnung dann erleichtert.

Also hier nur als Illustration der alternative Weg der Integration.

Wir berechnen ja das Integral über i von cos 2x plus 3y dx,y.

Und jetzt läuft das x ja von 0, ne, Entschuldigung, das y läuft von 0 bis Pi zwölfte.

Da habe ich es falsch in die Tafel gemalt.

Und das x läuft von 0 bis Pi vierte. Und dann kommt cos 2x plus 3y.

Und hier integriert man dx zuerst im inneren Integral.

Und dann kommt d.

Und d.

Plus 3y. Und hier integriert man dx zuerst im inneren Integral von 0 bis Pi viertel.

Also das Rechteck müsste dann auch anders aussehen, also eher länglich.

Und außen läuft das y von 0 bis Pi zwölfte.

Und deshalb schreiben wir außen ein dy hinten.

Also das ist die alternative Reihenfolge mit vertauschen Integrationsvariablen.

Und der Rechenweg wird dadurch ein bisschen verändert, aber es ist jetzt nicht einfacher oder schwieriger als vorher in dem Fall.

Hier müssen wir zuerst bezüglich x integrieren, das liefert als Vorfaktor ein halb.

Dann haben wir die Stammfunktion sin 2x plus 3y.

Und die wird ausgewertet in den Grenzen x gleich 0 bis Pi viertel dy.

Das ist ja der wesentliche Vorteil der eindimensionalen Integrale, dass wir mit den Stammfunktionen, also mit dem Fundamentalsatz der Analysis arbeiten können.

Und die Integrale direkt mit den Stammfunktionen, die wir in die Grenzen einsetzen, ausrechnen können.

So, dann setzen wir die Grenzen mal ein. Was gibt das?

Das gibt ein halbmal das Integral von 0 bis Pi zwölfte.

Sin 2x Pi viertel gibt Pi halbe plus 3y.

Minus Sinus 0 plus 3y dy.

Also jetzt haben wir nur noch ein eindimensionales Integral bezüglich y zu berechnen.

Und in dem Sinus steckt noch der Faktor 3 vor dem y. Das liefert bei der Stammfunktion jetzt als Vorfaktor ein Drittel.

Also erhalten wir ein halbmal ein Drittel mal minus Cosinus Pi halbe plus 3y plus ein Drittel mal Cosinus von 3y.

Und da müssen wir noch die Grenzen für das y einsetzen.

Y läuft auf die Null und dann als Obergrenze haben wir hier Pi zwölfte.